6. Найдите наименьшее натуральное решение неравенства x² - 14x + 45 > 0.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Решаем квадратное уравнение \( x^2 - 14x + 45 = 0 \).
• Используем формулу дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \)
• \( D = (-14)^2 - 4 · 1 · 45 = 196 - 180 = 16 \)
• Находим корни: \( x_{1,2} = \frac{-b ± √{D}}{2a} \)
• \( x_1 = \frac{14 + √{16}}{2 · 1} = \frac{14 + 4}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)
• \( x_2 = \frac{14 - √{16}}{2 · 1} = \frac{14 - 4}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
• Шаг 2: Определяем интервалы для неравенства \( x^2 - 14x + 45 > 0 \).
• Парабола \( y = x^2 - 14x + 45 \) с ветвями вверх пересекает ось x в точках 5 и 9.
• Неравенство \( > 0 \) выполняется там, где парабола находится выше оси x.
• Это интервалы: \( (-∞; 5) \) и \( (9; +∞) \).
• Шаг 3: Находим наименьшее натуральное решение.
• Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, ...).
• В интервале \( (-∞; 5) \) натуральные числа: 1, 2, 3, 4. Наименьшее из них — 1.
• В интервале \( (9; +∞) \) натуральные числа: 10, 11, 12, ... Наименьшее из них — 10.
• Сравнивая наименьшие натуральные числа из обоих интервалов (1 и 10), наименьшим является 1.

Ответ: 1