3. В четырехугольнике ABCD ∠C = 90°, ∠CBD = 30°, ∠ABD = 60°, ∠BDA = 30°. Определите вид этого четырехугольника.

Решение:

1. В треугольнике BCD, \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle CBD = 30^{\circ} \). Тогда \( \angle BDC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
2. В треугольнике ABC, \( \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ} \).
3. В треугольнике ABD, \( \angle ABD = 60^{\circ} \), \( \angle BDA = 30^{\circ} \). Тогда \( \angle BAD = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 30^{\circ} = 90^{\circ} \).
4. Мы имеем: \( \angle A = 90^{\circ} \), \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle ABC = 90^{\circ} \). Следовательно, \( \angle ADC = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \).
5. Так как все углы четырехугольника ABCD равны 90°, то это прямоугольник.
6. Проверим равенство сторон. В прямоугольном треугольнике BCD: \( BC = CD \tan(30^{\circ}) = CD \frac{1}{\sqrt{3}} \).
7. В прямоугольном треугольнике ABD: \( AD = AB \tan(30^{\circ}) = AB \frac{1}{\sqrt{3}} \).
8. Так как \( \angle BDA = 30^{\circ} \) и \( \angle CBD = 30^{\circ} \), то \( BC \parallel AD \).
9. В треугольнике ABD, по теореме синусов: \( \frac{AB}{\sin(30^{\circ})} = \frac{BD}{\sin(60^{\circ})} \) → \( AB = BD \frac{\sin(30^{\circ})}{\sin(60^{\circ})} = BD \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{BD}{\sqrt{3}} \).
10. В треугольнике BCD, по теореме синусов: \( \frac{CD}{\sin(30^{\circ})} = \frac{BD}{\sin(90^{\circ})} \) → \( CD = BD \frac{\sin(30^{\circ})}{\sin(90^{\circ})} = BD \frac{1/2}{1} = \frac{BD}{2} \).
11. Сравним стороны AB и CD: \( AB = \frac{BD}{\sqrt{3}} \), \( CD = \frac{BD}{2} \). Так как \( \sqrt{3} \approx 1.732 \), то \( AB < CD \).
12. Так как \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle A = 90^{\circ} \) и \( AB
    e CD \), то это прямоугольная трапеция.

Ответ: прямоугольная трапеция.