ЧАСТЬ 2 7. Найдите синус острого угла равнобедренной трапеции, разность оснований которой равна 8 см, а сумма боковых сторон 10 см.

Решение:

Пусть данная равнобедренная трапеция ABCD, где AD || BC. Основания — BC и AD, боковые стороны AB = CD.

Разность оснований: \( AD - BC = 8 \) см.

Сумма боковых сторон: \( AB + CD = 10 \) см.

Так как трапеция равнобедренная, \( AB = CD \). Следовательно, \( 2AB = 10 \) см, и \( AB = 5 \) см.

Проведем высоты из вершин B и C к основанию AD. Пусть это будут BH и CK соответственно. Тогда:

• \( BH = CK = h \) (высота трапеции).
• \( BC = HK \) (так как BCHK — прямоугольник).
• \( AH = KD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. У нас есть гипотенуза \( AB = 5 \) см и катет \( AH = 4 \) см.

Найдем высоту \( h \) по теореме Пифагора:

\[ h^2 + AH^2 = AB^2 \]\[ h^2 + 4^2 = 5^2 \]\[ h^2 + 16 = 25 \]\[ h^2 = 25 - 16 \]\[ h^2 = 9 \]\[ h = 3 \) см.

Пусть \( \alpha \) — острый угол трапеции (например, \( \angle BAH \)).

Синус острого угла \( \alpha \) в прямоугольном треугольнике ABH определяется как отношение противолежащего катета (высоты \( h \)) к гипотенузе (боковой стороне \( AB \)).

\[ \sin \alpha = \frac{h}{AB} \]\[ \sin \alpha = \frac{3 \text{ см}}{5 \text{ см}} \]\[ \sin \alpha = 0.6 \]

Ответ: 0.6.