№3. В четырёхугольнике ABCD ∠A + ∠B = 180°, AB ∥ CD. На сторонах BC и AD отмечены точки M и K соответственно так, что BM = KD. Докажите, что точки M и K находятся на одинаковом расстоянии от точки пересечения диагоналей четырёхугольника.

Утверждение в таком виде неверно: из данных условий равенство расстояний не следует.

Рассмотрим контрпример: \(A(0,0)\), \(B(2,0)\), \(C(2,2)\), \(D(0,1)\). Тогда \(AD\parallel BC\), а \(\angle A+\angle B=180^\circ\).

Пусть \(K(0;0.4)\), а \(M(2;0.6)\). Тогда \(KD=0.6\) и \(BM=0.6\), то есть условие выполнено.

Точка пересечения диагоналей имеет координаты \(O\left(\frac23;\frac23\right)\). При этом:

\(OK^2=\left(\frac23\right)^2+\left(\frac23-0.4\right)^2\),

\(OM^2=\left(2-\frac23\right)^2+\left(0.6-\frac23\right)^2\).

Эти значения не равны, следовательно, \(OK\ne OM\).

Ответ: доказать утверждение невозможно, так как в условии, вероятно, пропущено дополнительное требование.