№4. На основании AC равнобедренного треугольника ABC отмечена точка K, а на сторонах AB и BC — точки M и P соответственно, причём PK = MB, ∠KPC = 80°, ∠C = 50°. Докажите, что KMBP — параллелограмм.

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то \(\angle A=\angle C=50^\circ\), а \(\angle B=80^\circ\).

Рассмотрим треугольник KPC. По условию \(\angle KPC=80^\circ\), а так как K лежит на AC, то \(\angle KCP=\angle C=50^\circ\).

Тогда:

\(\angle PKC=180^\circ-80^\circ-50^\circ=50^\circ\).

Следовательно, \(\angle PKC=\angle A\), поэтому \(KP\parallel AB\). Так как \(M\) лежит на AB, то \(KP\parallel MB\).

Кроме того, по условию \(PK=MB\). Значит, в четырёхугольнике KMBP одна пара противоположных сторон равна и параллельна.

Следовательно, KMBP — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.