Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 3. В классе 29 учащихся. 9 из них после школы ходят в кружок по лепке, а 14 человек посещают изостудию. Выберите верные…Фото задания

Ответ:

Решение:

Обозначим:

  • К — учащиеся, ходящие в кружок по лепке.
  • И — учащиеся, посещающие изостудию.

Из условия задачи:

  • Общее число учащихся = 29.
  • $$|К| = 9$$.
  • $$|И| = 14$$.

Проверим утверждения:

  • 1) Меньше 10 учащихся и ходят в кружок по лепке, и посещают изостудию.
  • $$|К ∩ И| ≥ |К| + |И| - |\text{Всего}| = 9 + 14 - 29 = 23 - 29 = -6$$. Так как количество учащихся не может быть отрицательным, это утверждение не обязательно верно. Минимальное количество пересечений равно 0. Максимальное количество учащихся, которые могут посещать оба кружка, ограничено меньшим числом из $$|К|$$ и $$|И|$$, то есть 9. Следовательно, количество учащихся, посещающих оба кружка, находится в диапазоне от 0 до 9. Утверждение «Меньше 10» верно, так как $$9 < 10$$.
  • 2) Найдётся 6 учащихся, которые не ходят в кружок по лепке и не посещают изостудию.
  • Пусть $$x$$ — количество учащихся, не посещающих ни один кружок. Тогда $$|К ∪ И| = 29 - x$$.
  • $$|К ∪ И| = |К| + |И| - |К ∩ И| = 9 + 14 - |К ∩ И| = 23 - |К ∩ И|$$.
  • $$29 - x = 23 - |К ∩ И|$$.
  • $$|К ∩ И| = 23 - (29 - x) = x - 6$$.
  • Так как $$|К ∩ И| ≥ 0$$, то $$x - 6 ≥ 0$$, т.е. $$x ≥ 6$$.
  • Так как $$|К ∩ И| ≤ 9$$, то $$x - 6 ≤ 9$$, т.е. $$x ≤ 15$$.
  • Таким образом, количество учащихся, не посещающих ни один кружок ($$x$$), находится в диапазоне от 6 до 15. Утверждение «Найдётся 6 учащихся» верно, так как 6 — минимально возможное значение.
  • 3) Найдётся 11 учащихся, которые и посещают изостудию, и ходят в кружок по лепке.
  • Из предыдущего пункта мы знаем, что $$|К ∩ И| = x - 6$$. Если $$|К ∩ И| = 11$$, то $$x = 17$$. Однако, максимальное значение $$x$$ равно 15. Следовательно, это утверждение неверно.
  • 4) Каждый учащийся, который посещает изостудию, ходит в кружок по лепке.
  • Это означает, что $$И ⊆ К$$. В этом случае $$|К ∩ И| = |И| = 14$$. Но мы знаем, что $$|К ∩ И| ≤ 9$$. Следовательно, это утверждение неверно.

Верные утверждения: 1 и 2.

Ответ: 12