3. В коробке лежат 12 красных карандашей, 6 желтых и 10 синих. Наугад берут 3 карандаша. Найдите вероятность того, что:

Решение:

Общее количество карандашей в коробке: \( 12 + 6 + 10 = 28 \) карандашей.

а) первые два карандаша будут красными, а третий синий;

Вероятность того, что первый карандаш красный: \( P(\text{1-й красный}) = \frac{12}{28} \)

Вероятность того, что второй карандаш красный (при условии, что первый был красным): \( P(\text{2-й красный | 1-й красный}) = \frac{11}{27} \)

Вероятность того, что третий карандаш синий (при условии, что первые два были красными): \( P(\text{3-й синий | 1-й, 2-й красные}) = \frac{10}{26} \)

Вероятность события а): \( P(a) = \frac{12}{28} \times \frac{11}{27} \times \frac{10}{26} = \frac{1320}{19656} = \frac{55}{819} \)

б) первый карандаш желтый, второй и третий синие;

Вероятность того, что первый карандаш желтый: \( P(\text{1-й желтый}) = \frac{6}{28} \)

Вероятность того, что второй карандаш синий (при условии, что первый был желтым): \( P(\text{2-й синий | 1-й желтый}) = \frac{10}{27} \)

Вероятность того, что третий карандаш синий (при условии, что первый был желтым, а второй синим): \( P(\text{3-й синий | 1-й желтый, 2-й синий}) = \frac{9}{26} \)

Вероятность события б): \( P(b) = \frac{6}{28} \times \frac{10}{27} \times \frac{9}{26} = \frac{540}{19656} = \frac{5}{218} \)

в) первый карандаш красный, второй желтый, третий синий.

Вероятность того, что первый карандаш красный: \( P(\text{1-й красный}) = \frac{12}{28} \)

Вероятность того, что второй карандаш желтый (при условии, что первый был красным): \( P(\text{2-й желтый | 1-й красный}) = \frac{6}{27} \)

Вероятность того, что третий карандаш синий (при условии, что первый был красным, а второй желтым): \( P(\text{3-й синий | 1-й красный, 2-й желтый}) = \frac{10}{26} \)

Вероятность события в): \( P(c) = \frac{12}{28} \times \frac{6}{27} \times \frac{10}{26} = \frac{720}{19656} = \frac{5}{137} \)

Ответ: а) \( \frac{55}{819} \); б) \( \frac{5}{218} \); в) \( \frac{5}{137} \).