4. В группе 6 мальчиков и 4 девочки. Случайным образом из группы выбирают двух человек. Найдите вероятность того, что будут выбраны 1 мальчик и одна девочка.

Решение:

Общее количество человек в группе: \( 6 + 4 = 10 \) человек.

Общее количество способов выбрать 2 человека из 10 равно числу сочетаний \( C_{10}^2 \):

\[ C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 × 9}{2 × 1} = 45 \]

Количество способов выбрать 1 мальчика из 6 равно \( C_6^1 \):

\[ C_6^1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1!5!} = 6 \]

Количество способов выбрать 1 девочку из 4 равно \( C_4^1 \):

\[ C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = 4 \]

Количество способов выбрать 1 мальчика и 1 девочку равно произведению числа способов выбрать мальчика и числа способов выбрать девочку:

\[ C_6^1 × C_4^1 = 6 × 4 = 24 \]

Вероятность того, что будут выбраны 1 мальчик и 1 девочка, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

\[ P(\text{1 мальчик и 1 девочка}) = \frac{\text{количество способов выбрать 1 мальчика и 1 девочку}}{\text{общее количество способов выбрать 2 человека}} = \frac{24}{45} = \frac{8}{15} \]

Ответ: \( \frac{8}{15} \).