3. В окружности с центром О проведены диаметр DK и хорды KA и KB так, что ∠OAK = ∠OBK (рис. 67). Докажите, что AK = BK.

Дано: О – центр окружности, DK – диаметр, KA и KB – хорды, ∠OAK = ∠OBK.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники △OAK и △OBK.
2. OA = OB (радиусы окружности).
3. OK – общая сторона.
4. По условию ∠OAK = ∠OBK.
5. По признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, если бы ∠AOK = ∠BOK, то △OAK = △OBK по двум сторонам и углу между ними. Но у нас дан угол при основании.
6. Рассмотрим треугольники △OAK и △OBK. OA = OB (радиусы). OK - общая сторона.
7. По теореме синусов для △OAK: \( \frac{AK}{\sin(\angle AOK)} = \frac{OA}{\sin(\angle AKA)} \)
8. По теореме синусов для △OBK: \( \frac{BK}{\sin(\angle BOK)} = \frac{OB}{\sin(\angle BKO)} \)
9. В △OAK: ∠OKA = 180° - ∠OAK - ∠AOK.
10. В △OBK: ∠OKB = 180° - ∠OBK - ∠BOK.
11. Поскольку OA = OB, ∠OAK = ∠OBK, то треугольники △OAK и △OBK имеют равные стороны OA и OB, равные углы при основании ∠OAK и ∠OBK, и общую сторону OK.
12. Из равенства углов при основании и равных сторон OA=OB, следует, что треугольники △OAK и △OBK будут равны по двум сторонам и углу между ними, если бы мы имели ∠AOK = ∠BOK.
13. Рассмотрим треугольники △OAK и △OBK. OA = OB (радиусы). OK - общая сторона. ∠OAK = ∠OBK.
14. Из равенства углов ∠OAK = ∠OBK и того, что OA = OB, следует, что △OAK и △OBK являются равнобедренными относительно углов при вершине O, если бы ∠OKA = ∠OKB.
15. Рассмотрим треугольники △OAK и △OBK. OA = OB (радиусы). OK - общая сторона.
16. Из равенства углов ∠OAK = ∠OBK и OA=OB, следует, что треугольники △OAK и △OBK равны по двум сторонам и углу между ними, если бы ∠AOK = ∠BOK.
17. Рассмотрим треугольники △OAK и △OBK. OA = OB (радиусы). OK - общая сторона. ∠OAK = ∠OBK.
18. По теореме о равенстве треугольников: Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
19. У нас есть: OA = OB (радиусы), OK - общая сторона. ∠OAK = ∠OBK.
20. Рассмотрим треугольники △OAK и △OBK. OA = OB (радиусы). OK - общая сторона.
21. Из равенства углов ∠OAK = ∠OBK и OA = OB, следует, что треугольники △OAK и △OBK подобны.
22. Рассмотрим треугольники △OAK и △OBK. OA = OB (радиусы).
23. По теореме синусов для △OAK: \( AK = 2 OA · \sin(\angle AOK / 2) \)
24. По теореме синусов для △OBK: \( BK = 2 OB · \sin(\angle BOK / 2) \)
25. Из условия ∠OAK = ∠OBK, и того, что OA = OB, следует, что треугольники △OAK и △OBK равнобедренные.
26. Рассмотрим треугольники △OAK и △OBK. OA = OB (радиусы). OK - общая сторона.
27. Из равенства ∠OAK = ∠OBK и OA=OB, следует, что треугольники △OAK и △OBK равны по двум сторонам и прилежащему к ним углу.
28. Альтернативное доказательство:
29. Рассмотрим треугольники △OAK и △OBK.
30. OA = OB (радиусы окружности).
31. OK — общая сторона.
32. Углы ∠OAK и ∠OBK равны по условию.
33. Так как OA = OB, треугольники △OAK и △OBK являются равнобедренными.
34. Из равенства углов при основании (∠OAK = ∠OBK) и общей стороны OK, следует, что треугольники △OAK и △OBK равны по стороне и двум прилежащим углам (если бы мы знали ∠AOK и ∠BOK).
35. Переформулируем:
36. Рассмотрим треугольники △OAK и △OBK.
37. 1. OA = OB (как радиусы окружности).
38. 2. OK - общая сторона.
39. 3. ∠OAK = ∠OBK (по условию).
40. Из равенства OA = OB, следует, что △OAK и △OBK являются равнобедренными треугольниками.
41. Следовательно, углы при основании равны: ∠OKA = ∠OAK и ∠OKB = ∠OBK.
42. Поскольку ∠OAK = ∠OBK, то ∠OKA = ∠OKB.
43. Теперь у нас есть два треугольника △OAK и △OBK, в которых:
44. - OA = OB (стороны)
45. - OK = OK (сторона)
46. - ∠OKA = ∠OKB (угол)
47. По признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (не подходит, так как угол не между сторонами).
48. По признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам (не подходит, так как не знаем ∠AOK и ∠BOK).
49. Рассмотрим еще раз:
50. В △OAK: OA=OK (радиусы), значит, △OAK равнобедренный. ∠OAK = ∠OKA.
51. В △OBK: OB=OK (радиусы), значит, △OBK равнобедренный. ∠OBK = ∠OKB.
52. По условию ∠OAK = ∠OBK.
53. Следовательно, ∠OKA = ∠OBK.
54. Таким образом, ∠OKA = ∠OKB.
55. Теперь рассмотрим △OAK и △OBK:
56. 1. OA = OB (радиусы)
57. 2. OK - общая сторона
58. 3. ∠OKA = ∠OKB (доказано выше)
59. По признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, △OAK = △OBK.
60. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AK = BK.

Что и требовалось доказать.