№ 3. В окружности с центром О проведены диаметр MN и хорды NF и NK так, что NF=NK (рис.65). Докажите, что ∠MNK=∠MNF.

Доказательство:

Дано: Окружность с центром О, диаметр MN, хорды NF и NK, NF = NK.

Доказать: \( \angle MNK = \angle MNF \).

1. Рассмотрение треугольника ONF и ONK:

• \( ON = OK \) (радиусы окружности).
• \( NF = NK \) (по условию).
• \( ON \) — общая сторона.

По третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), \( \triangle ONF = \triangle ONK \).

Следовательно, соответствующие углы равны: \( \angle NOF = \angle NOK \).

2. Рассмотрение центральных углов:

Центральный угол \( \angle NMF \) опирается на дугу \( NF \). Центральный угол \( \angle NMF \) опирается на дугу \( NK \).

Поскольку \( \angle NOF = \angle NOK \), то дуги \( NF \) и \( NK \) равны.

3. Рассмотрение вписанных углов:

Вписанный угол \( \angle MNK \) опирается на дугу \( NK \).

Вписанный угол \( \angle MNF \) опирается на дугу \( NF \).

Поскольку дуги \( NK \) и \( NF \) равны, то и вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, равны.

Следовательно, \( \angle MNK = \angle MNF \).

Что и требовалось доказать.