3. В окружности с центром O проведены диаметр MN и хорды NF и NK так, что NF = NK (рис. 65). Докажите, что ∠MNK = ∠MNF.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник ONF и треугольник ONK.

ON = ON (общая сторона)

OF = OK (радиусы окружности)

NF = NK (по условию)

Следовательно, треугольник ONF равен треугольнику ONK по трём сторонам (3 признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны:

\( \angle FON = \angle KON \)

\( \angle FNO = \angle KNO \)

\( \angle OFN = \angle OKN \)

Теперь рассмотрим треугольник MNF и треугольник MNK.

MN — диаметр окружности.

Углы ∠MFN и ∠MKN являются вписанными углами, опирающимися на диаметр, поэтому они прямые:

\( \angle MFN = 90^{\circ} \)

\( \angle MKN = 90^{\circ} \)

Мы знаем, что \( NF = NK \) (по условию).

В треугольнике MNF, \( \angle MFN = 90^{\circ} \). По теореме Пифагора: \( MN^2 = MF^2 + NF^2 \).

В треугольнике MNK, \( \angle MKN = 90^{\circ} \). По теореме Пифагора: \( MN^2 = MK^2 + NK^2 \).

Так как \( NF = NK \), то \( NF^2 = NK^2 \).

Следовательно, \( MF^2 = MK^2 \), а значит \( MF = MK \).

Рассмотрим треугольник MNF и треугольник MNK:

MN = MN (общая сторона)

MF = MK (доказано выше)

NF = NK (по условию)

Треугольник MNF равен треугольнику MNK по трём сторонам (3 признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны:

\( \angle MNF = \angle MNK \)

\( \angle MFN = \angle MKN \)

\( \angle FNM = \angle KNM \)

Что и требовалось доказать.