3. В окружности с центром О проведены диаметры АВ и CD. Плоскость α проходит через точки А, С и О. Докажите, что прямая BD лежит в плоскости α.

Решение:

Дано: Окружность с центром О, диаметры АВ и CD. Плоскость α проходит через точки А, С, О.

Доказать: Прямая BD лежит в плоскости α.

Доказательство:

1. Точки A, C и O принадлежат плоскости α по условию.
2. Так как A и O — точки на диаметре AB, то точки A и O лежат на прямой AB. Следовательно, прямая AB лежит в плоскости α.
3. Так как C и O — точки на диаметре CD, то точки C и O лежат на прямой CD. Следовательно, прямая CD лежит в плоскости α.
4. Через две пересекающиеся прямые (AB и CD пересекаются в точке O) проходит единственная плоскость. Этой плоскостью является плоскость α.
5. Точка B лежит на прямой AB, а прямая AB лежит в плоскости α. Следовательно, точка B лежит в плоскости α.
6. Точка D лежит на прямой CD, а прямая CD лежит в плоскости α. Следовательно, точка D лежит в плоскости α.
7. Так как обе точки B и D лежат в плоскости α, то и прямая BD, проходящая через эти точки, целиком лежит в плоскости α.

Что и требовалось доказать.