Контрольные задания
Вопрос:

4. Точки М и N принадлежат соответственно граням SBC и SAC пирамиды SABC (рис. 6). Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью АВС.

Фото задания: 4. Точки М и N принадлежат соответственно граням SBC и SAC пирамиды SABC (рис. 6). Постройте точку пересечения прямой MN с…Фото задания

Ответ:

Решение:

Построение:

  1. Проведём прямую MN.
  2. Плоскость SAC и плоскость SBC пересекаются по прямой SC.
  3. Плоскость ABC и плоскость SAC пересекаются по прямой AC.
  4. Плоскость ABC и плоскость SBC пересекаются по прямой BC.
  5. Так как точка M лежит в грани SBC, то M принадлежит плоскости SBC.
  6. Так как точка N лежит в грани SAC, то N принадлежит плоскости SAC.
  7. Прямая MN является прямой пересечения плоскостей SAC и SBC.
  8. Чтобы найти точку пересечения прямой MN с плоскостью ABC, нужно найти точку, которая лежит и на прямой MN, и в плоскости ABC.
  9. Рассмотрим прямую AC. Она лежит в плоскости ABC и также в плоскости SAC.
  10. Рассмотрим прямую BC. Она лежит в плоскости ABC и также в плоскости SBC.
  11. Точка C является точкой пересечения прямых AC и BC. Следовательно, точка C лежит в плоскости ABC.
  12. Так как точка M лежит в плоскости SBC, и точка N лежит в плоскости SAC, то точка их пересечения, если бы она была, лежала бы на SC.
  13. Прямая MN лежит в плоскости SAC и в плоскости SBC.
  14. Искомая точка пересечения прямой MN с плоскостью ABC будет точка C, если прямая MN пересекает плоскость ABC в точке C.
  15. Однако, по условию M принадлежит грани SBC, а N — грани SAC.
  16. Чтобы найти точку пересечения прямой MN с плоскостью ABC, нужно продолжить прямую MN до пересечения с плоскостью ABC.
  17. Если прямая MN не параллельна плоскости ABC, она пересекает ее в некоторой точке.
  18. Пусть прямая MN пересекает прямую AC в точке K. Тогда K лежит в плоскости SAC и в плоскости ABC.
  19. Пусть прямая MN пересекает прямую BC в точке L. Тогда L лежит в плоскости SBC и в плоскости ABC.
  20. В данном случае, M на SBC, N на SAC.
  21. Рассмотрим плоскость, содержащую прямую MN и точку, необходимую для пересечения с плоскостью ABC.
  22. Рассмотрим плоскость SAC. Она содержит точку N и прямую AC (которая лежит в плоскости ABC).
  23. Пусть прямая MN пересекает прямую AC в точке K. Тогда K — точка пересечения прямой MN с плоскостью ABC.
  24. Построение:
  25. 1. Через точки M и N проведите прямую MN.
  26. 2. Найдите точку пересечения прямой MN с прямой AC. Обозначим эту точку K.
  27. 3. Точка K лежит на прямой MN и на прямой AC. Так как прямая AC лежит в плоскости ABC, то точка K принадлежит плоскости ABC.
  28. 4. Следовательно, точка K является точкой пересечения прямой MN с плоскостью ABC.

Примечание: Если прямая MN параллельна плоскости ABC, то пересечения нет. Если прямая MN лежит в плоскости ABC, то пересечением является сама прямая MN.