3. В окружности с центром О провели хорду АВ и диаметр CD, перпендикулярный хорде АВ и пересекающий её в точке М. Найдите длину отрезка ОМ, если АВ=12 см, ∠AOB=90°.

1. Так как CD перпендикулярен AB, то M - середина AB. Следовательно, AM = MB = 12/2 = 6 см.

2. В равнобедренном треугольнике AOB (OA=OB=радиус), OM является высотой и медианой.

3. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике OMA: OA^2 = OM^2 + AM^2. Так как ∠AOB=90°, то треугольник AOB - равнобедренный прямоугольный. OA = OB = AB/√2 = 12/√2 = 6√2 см.

4. (6√2)^2 = OM^2 + 6^2 => 72 = OM^2 + 36 => OM^2 = 36 => OM = 6 см.