3. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ все грани — прямоугольники, AD = 4 см, DC = 8 см, CC₁ = 6 см. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через середину ребра DC параллельно плоскости AB₁C₁, и найдите периметр сечения. Изобразите тетраэдр DABC и постройте его сечение плоскостью, проходящей через середины рёбер DC и BC, и точку K, лежащую на ребре D… [числовые данные обрезаны]

Первая часть. Зададим координаты прямоугольного параллелепипеда: A(0; 0; 0), B(8; 0; 0), D(0; 4; 0), C(8; 4; 0), A₁(0; 0; 6), B₁(8; 0; 6), C₁(8; 4; 6), D₁(0; 4; 6). Ось x направлена вдоль AB, y — вдоль AD, z — вдоль AA₁.

Плоскость AB₁C₁ содержит векторы AB₁ = (8; 0; 6) и AC₁ = (8; 4; 6). Её уравнение: 3x − 6y − 4z = 0. Плоскость, параллельная ей и проходящая через середину DC, то есть точку M(4; 4; 0), имеет уравнение 3x − 6y − 4z = −12.

Эта плоскость пересекает рёбра AD, DC, CC₁ и AA₁ в точках P, M, Q и R соответственно. Подстановка координат в уравнение плоскости даёт P(0; 2; 0), Q(8; 4; 3), R(0; 2; 3). Значит, сечение — четырёхугольник PMQR.

PM = 4 см, MQ = √(4² + 3²) = 5 см. Противоположные стороны параллельны и равны, поэтому периметр равен 2(4 + 5) = 18 см.

Периметр сечения равен 18 см.

Вторая часть. Условие обрывается после слов «точку K, лежащую на ребре D…». Не указано, на каком именно ребре лежит K. Без этого нельзя однозначно построить требуемое сечение тетраэдра. Пришлите продолжение условия целиком.