3. В параллелограмм ABCD с углом А, равным 45°, и стороной AD, равной 10√2 дм, вписана окружность. а) Найдите радиус окружности. б) Найдите с помощью микрокалькулятора сумму расстояний от вершины D до точек касания окружности с прямыми AD и DC.

Решение:

а) Найдите радиус окружности.

Если в параллелограмм вписана окружность, то этот параллелограмм является ромбом. Противоположные стороны параллелограмма равны. Вписанная окружность означает, что расстояние между противоположными сторонами (высота) равно диаметру окружности.

Угол A = 45°.

Сторона AD = $$10\text{sqrt(2)}$$ дм.

Высота параллелограмма (h), проведенная из вершины D к стороне AB, равна диаметру окружности (d).

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, стороной AB и частью AD (если провести высоту из D к AB), угол A = 45°. Пусть точка касания высоты с AB будет H.

Тогда $$h = AD \times \text{sin}(A)$$.

$$h = 10\text{sqrt(2)} \times \text{sin}(45°) = 10\text{sqrt(2)} \times \frac{\text{sqrt(2)}}{2} = 10 \times \frac{2}{2} = 10$$ дм.

Диаметр окружности (d) равен высоте ромба, то есть 10 дм.

Радиус окружности (r) равен половине диаметра:

$$r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ дм.

б) Найдите с помощью микрокалькулятора сумму расстояний от вершины D до точек касания окружности с прямыми AD и DC.

Пусть точки касания окружности со сторонами AD и DC будут P и Q соответственно.

В ромбе, напротив угла A = 45°, находится угол C = 45°. Углы B и D = 180° - 45° = 135°.

Рассмотрим вершину D. Расстояния от вершины до точек касания сторон, исходящих из этой вершины, равны. То есть DP = DQ.

Из вершины D, с углом 135°, проведем касательные к окружности. Точки касания — P на AD и Q на DC.

Сумма углов при вершине D в четырехугольнике DPОQ (где O — центр окружности) равна 360°. Треугольники DPO и DQO — прямоугольные (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной). ∠DPO = ∠DQO = 90°.

∠POD + ∠QOD = 360° - 90° - 90° - 135° = 55° — это неверно, потому что O — центр окружности, вписанной в ромб. Центр вписанной окружности лежит на пересечении диагоналей.

В ромбе диагонали делят углы пополам. Угол D = 135°, значит ∠ODQ = ∠ODP = 135° / 2 = 67.5°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник DPO:

• ∠DPO = 90°
• ∠ODP = 67.5°
• OP = r = 5 дм
• DP — искомое расстояние

Используем тангенс:

$$\tan(\text{∠ODP}) = \frac{OP}{DP}$$

$$\tan(67.5°) = \frac{5}{DP}$$

$$DP = \frac{5}{\tan(67.5°)}$$

Значение $$\tan(67.5°)$$ можно найти:

$$\tan(67.5°) = \tan(135°/2)$$. Используя формулу половинного угла $$\tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{1 - \text{cos}(\theta)}{\text{sin}(\theta)}$$

$$\tan(67.5°) = \frac{1 - \text{cos}(135°)}{\text{sin}(135°)} = \frac{1 - (-\frac{\text{sqrt(2)}}{2})}{\frac{\text{sqrt(2)}}{2}} = \frac{1 + \frac{\text{sqrt(2)}}{2}}{\frac{\text{sqrt(2)}}{2}} = \frac{\frac{2+\text{sqrt(2)}}{2}}{\frac{\text{sqrt(2)}}{2}} = \frac{2+\text{sqrt(2)}}{\text{sqrt(2)}} = \frac{2\text{sqrt(2)}+2}{2} = \text{sqrt(2)}+1$$.

Итак, $$DP = \frac{5}{\text{sqrt(2)}+1}$$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $$(\text{sqrt(2)}-1)$$:

$$DP = \frac{5(\text{sqrt(2)}-1)}{(\text{sqrt(2)}+1)(\text{sqrt(2)}-1)} = \frac{5(\text{sqrt(2)}-1)}{2-1} = 5(\text{sqrt(2)}-1)$$ дм.

Расстояние DQ = DP = $$5(\text{sqrt(2)}-1)$$ дм.

Сумма расстояний = DP + DQ = $$5(\text{sqrt(2)}-1) + 5(\text{sqrt(2)}-1) = 10(\text{sqrt(2)}-1)$$ дм.

Используя микрокалькулятор: $$\text{sqrt(2)} \text{≈} 1.414$$.

Сумма расстояний ≈ $$10(1.414 - 1) = 10 \times 0.414 = 4.14$$ дм.

Ответ: а) Радиус окружности = 5 дм. б) Сумма расстояний ≈ 4.14 дм.