2. Около остроугольного треугольника АВС описана окружность. Точка О пересечения серединных перпендикуляров удалена от прямой АВ на 6см. Найдите ∠ОВА и радиус окружности, если ∠AOC = 90°, ∠OBC = 15°.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем, что точка О является центром описанной окружности.
2. Шаг 2: По условию, расстояние от точки О до стороны АВ равно 6 см. Это расстояние является перпендикуляром, опущенным из центра окружности на хорду АВ.
3. Шаг 3: Угол ∠AOC = 90°. В равнобедренном треугольнике АОС (АО=СО=R), угол при вершине равен 90°, значит, угол при основании ∠OAC = ∠OCA = (180° - 90°) / 2 = 45°.
4. Шаг 4: Угол ∠OBC = 15°. В равнобедренном треугольнике ВОС (ВО=СО=R), угол при основании ∠OCB = ∠OBC = 15°.
5. Шаг 5: Находим углы треугольника АВС: ∠BAC = ∠OAC = 45°. ∠ABC = ∠OBA + ∠OBC. ∠BCA = ∠OCB + ∠OCA = 15° + 45° = 60°.
6. Шаг 6: Сумма углов треугольника равна 180°. ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠BCA = 180° - 45° - 60° = 75°.
7. Шаг 7: Теперь находим ∠OBA: ∠OBA = ∠ABC - ∠OBC = 75° - 15° = 60°.
8. Шаг 8: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой О, серединой отрезка АВ (обозначим ее М) и точкой А. ОМ = 6 см. Угол ∠OAM = ∠OAB = ∠BAC = 45°. В треугольнике ОМА: ∠OMA = 90°, ∠OAM = 45°, следовательно ∠AOM = 45°. Это равнобедренный прямоугольный треугольник, значит ОМ = АМ = 6 см.
9. Шаг 9: Радиус описанной окружности R = OA. В прямоугольном треугольнике ОМА: \( OA = \sqrt{OM^2 + AM^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \) см.

Ответ: ∠ОВА = 60°, радиус окружности = 6√2 см