3. В параллелограмме ABCD биссектриса угла A, равного 60°, пересекает сторону BC в точке M. Отрезки AM и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 6. Запишите решение и ответ.

Так как BC ∥ AD, а ∠DAB = 60°, угол между AB и BM равен 60°. В треугольнике ABM биссектриса AM образует с AB угол 30°, следовательно, ∠BAM = ∠AMB = 30° и AB = BM = 6.

Поскольку AM ⟂ DM, треугольник AMD прямоугольный. Угол MAD равен 30°, поэтому в треугольнике AMD сторона AD, лежащая напротив угла 90°, вдвое больше стороны DM. Также из прямоугольного треугольника ABM: AM = 6√3. Применяя теорему Пифагора к треугольнику AMD и учитывая, что ∠AMD = 90°, получаем AD² = AM² + DM²; из ∠MAD = 30° следует DM = AD/2. Значит, AD² = 108 + AD²/4, откуда AD = 12.

Периметр параллелограмма: P = 2(AB + AD) = 2(6 + 12) = 36.

Ответ: 36.