3. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и C пересекают стороны BC и AD в точках E и F соответственно, причём BE = 2 см, а AF = 5 см. 1) Докажите, что AECF — параллелограмм. 2) Найдите периметр параллелограмма ABCD.

1) Так как ABCD — параллелограмм, то \(AD\parallel BC\). Следовательно, \(AF\parallel EC\), поскольку AF лежит на AD, а EC — на BC.

Углы A и C равны, поэтому их биссектрисы параллельны: \(AE\parallel CF\). Четырёхугольник AECF имеет обе пары противоположных сторон параллельными, значит, AECF — параллелограмм.

2) В параллелограмме AECF противоположные стороны равны, поэтому \(EC=AF=5\) см. Тогда \(BC=BE+EC=2+5=7\) см.

Поскольку AE — биссектриса угла DAB, а \(BE\parallel AD\), получаем \(\angle BAE=\angle AEB\). Значит, в треугольнике ABE стороны \(AB=BE=2\) см.

Периметр ABCD: \(P=2(AB+BC)=2(2+7)=18\) см.

Ответ: 1) AECF — параллелограмм; 2) 18 см.