3. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 154°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Обозначим \(AB=a\). В параллелограмме \(CD=AB=a\), а по условию \(AC=2a\). Рассмотрим треугольник ACD: его стороны при вершине C образуют угол \(154°\), а стороны \(AC\) и \(CD\) равны \(2a\) и \(a\).

По теореме косинусов для диагонали \(AD\): \(AD^2=(2a)^2+a^2-2\cdot2a\cdot a\cos154°=a^2(5-4\cos154°)\).

Угол между диагоналями можно найти, рассматривая векторы диагоналей: их скалярное произведение по модулю равно \(4a^2(1-\cos154°)\), а произведение длин равно \(2a^2\sqrt{8(1-\cos154°)}\). Поэтому косинус острого угла между ними равен \(\sqrt{(1-\cos154°)/2}=\sin77°=\cos13°\).

Следовательно, угол между диагоналями равен \(13°\).

Ответ: 13°.