3. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 16°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Так как AB ∥ CD, угол между AC и AB равен ∠ACD, то есть 16°. Рассмотрим треугольник ABC: AC = 2AB, а угол между этими сторонами равен 16°.

Обозначим ∠ACB через γ. По теореме синусов:

\(\frac{AC}{AB}=\frac{\sin(16^\circ+\gamma)}{\sin\gamma}=2\).

Отсюда \(\sin(16^\circ+\gamma)=2\sin\gamma\), то есть \(\tan\gamma=\frac{\sin16^\circ}{2-\cos16^\circ}\). Получаем \(\gamma\approx15.7^\circ\), поэтому \(\angle ABC=180^\circ-16^\circ-\gamma\approx148.3^\circ\).

Диагонали параллелограмма имеют направления, образующие угол, равный меньшему углу между AC и AB, сложенному с острым углом между AB и BD. Этот острый угол равен \(180^\circ-\angle ABC\approx31.7^\circ\). Поэтому меньший угол между диагоналями равен \(16^\circ+31.7^\circ\approx47.7^\circ\).

Ответ: приблизительно 47,7°.