3. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Выразите векторы \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{AD}\) через векторы \(\overrightarrow{DO}=\vec a,\ \overrightarrow{OC}=\vec b\).

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Поэтому \(\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}=\vec b\), следовательно, \(\overrightarrow{DO}=-\vec b\). Но по условию одновременно \(\overrightarrow{DO}=\vec a\); таким образом, данные векторы должны удовлетворять \(\vec a=-\vec b\).

Чтобы выразить искомые векторы, используем \(O\) как начало: из \(\overrightarrow{DO}=\vec a\) следует \(\overrightarrow{OD}=-\vec a\), а по свойству диагоналей \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}=-\vec a\). Также \(\overrightarrow{OC}=\vec b\) и \(\overrightarrow{OA}=-\vec b\).

Тогда \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}=\vec a-\vec b\). Кроме того, \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OD}=\vec b-\vec a\).

Указание \(\overrightarrow{DO}=\vec a\) и \(\overrightarrow{OC}=\vec b\) не является независимым: для параллелограмма необходимо \(\vec a=-\vec b\). Полученные формулы при этом дают \(\overrightarrow{BA}=2\vec a\) и \(\overrightarrow{AD}=-2\vec a\), что согласуется с противоположностью этих сторон.

Ответ: \(\overrightarrow{BA}=\vec a-\vec b,\quad \overrightarrow{AD}=\vec b-\vec a\).