3. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла B, которая пересекает сторону AD в точке M. а) Докажите, что треугольник ABM равнобедренный; б) Найдите периметр параллелограмма, если AM = 4,5 см, DM = 2,5 см.

а) Так как AD ∥ BC, то AM ∥ BC. Углы ABM и BMA равны: первый — половина угла B, поскольку BM — его биссектриса; второй равен половине угла B как угол, образованный BM и прямой, параллельной BC. Следовательно, в треугольнике ABM равны углы ABM и BMA, а значит, противоположные им стороны равны: AM = AB. Поэтому треугольник ABM равнобедренный.

б) AD = AM + DM = 4,5 + 2,5 = 7 см. По доказанному AB = AM = 4,5 см. Периметр параллелограмма: P = 2 · (AB + AD) = 2 · (4,5 + 7) = 23 см.

Ответ: а) AB = AM; б) 23 см.