3. В параллелограмме КТМN проведена биссектриса угла TKN, которая пересекает сторону TM в точке P. а) Докажите, что треугольник KTP равнобедренный. б) Найдите сторону KN, если TP = 10 см, а периметр параллелограмма равен 50 см.

а) В параллелограмме \(TM\parallel KN\), значит, \(TP\parallel KN\). Так как \(KP\) — биссектриса угла \(TKN\), то \(\angle TKP=\angle PKN\). Из параллельности \(TP\parallel KN\) следует, что \(\angle KPT=\angle PKN\). Значит, \(\angle TKP=\angle KPT\), поэтому противоположные этим углам стороны равны: \(KT=TP\). Следовательно, треугольник KTP равнобедренный.

б) \(KT=TP=10\) см. Периметр параллелограмма равен \(2(KT+KN)\), поэтому:

\(2(10+KN)=50\).

\(10+KN=25\), откуда \(KN=15\) см.

Ответ: KN = 15 см.