3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O – центр основания, S – вершина, SO = 8см, АВ = 12см. Найдите площадь поверхности и объем пирамиды.

Решение:

1. Площадь поверхности пирамиды:

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: S_полн = S_осн + S_бок.

а) Площадь основания (S_осн):

Основание – квадрат со стороной AB = 12 см.

S_осн = AB² = 12² = 144 см².

б) Площадь боковой поверхности (S_бок):

Боковая поверхность состоит из четырех одинаковых равнобедренных треугольников. Чтобы найти площадь одного такого треугольника (например, SBC), нам нужна его высота – апофема (l). Найдем ее из прямоугольного треугольника, где один катет – высота пирамиды SO = 8 см, а второй катет – половина стороны основания (OK = AB / 2 = 12 см / 2 = 6 см).

По теореме Пифагора найдем апофему l (СК):

l² = SO² + OK²

l² = 8² + 6²

l² = 64 + 36

l² = 100

l = √100 = 10 см.

Площадь одного бокового треугольника:

S_SBC = 1/2 * AB * l = 1/2 * 12 см * 10 см = 60 см².

Площадь всей боковой поверхности:

S_бок = 4 * S_SBC = 4 * 60 см² = 240 см².

в) Площадь полной поверхности:

S_полн = S_осн + S_бок = 144 см² + 240 см² = 384 см².

2. Объем пирамиды:

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

V = 1/3 * S_осн * H

где S_осн – площадь основания, а H – высота пирамиды (в данном случае SO).

V = 1/3 * 144 см² * 8 см

V = 48 см² * 8 см = 384 см³.

Ответ: Площадь поверхности 384 см², объем 384 см³