4. Диагонали оснований правильной усеченной пирамида равны соответственно √32 м и √8 м. Найти площадь полной поверхности и объем этой пирамиды, если Н=3 м.

Решение:

В основании правильной усеченной пирамиды лежат квадраты.

Пусть d₁ = √32 м и d₂ = √8 м — диагонали нижнего и верхнего оснований соответственно.

Найдем стороны оснований:

Сторона нижнего основания a₁:

d₁ = a₁√2

√32 = a₁√2

a₁ = √32 / √2 = √16 = 4 м.

Сторона верхнего основания a₂:

d₂ = a₂√2

√8 = a₂√2

a₂ = √8 / √2 = √4 = 2 м.

1. Объем усеченной пирамиды:

Формула объема усеченной пирамиды:

V = 1/3 * H * (S₁ + S₂ + √(S₁ * S₂))

Где H = 3 м — высота, S₁ и S₂ — площади оснований.

S₁ = a₁² = 4² = 16 м².

S₂ = a₂² = 2² = 4 м².

V = 1/3 * 3 м * (16 м² + 4 м² + √(16 м² * 4 м²))

V = 1 м * (20 м² + √64 м²)

V = 1 м * (20 м² + 8 м²)

V = 28 м³.

2. Площадь полной поверхности:

S_полн = S₁ + S₂ + S_бок

S₁ = 16 м², S₂ = 4 м².

Найдем площадь боковой поверхности. Она состоит из 4 одинаковых трапеций.

Высота боковой грани (апофема усеченной пирамиды) l:

l = √(H² + ((a₁ - a₂)/2)²)

l = √(3² + ((4 - 2)/2)²)

l = √(9 + (2/2)²)

l = √(9 + 1²) = √10 м.

Площадь одной боковой грани (трапеции):

S_трап = 1/2 * (a₁ + a₂) * l

S_трап = 1/2 * (4 м + 2 м) * √10 м

S_трап = 1/2 * 6 м * √10 м = 3√10 м².

Площадь боковой поверхности:

S_бок = 4 * S_трап = 4 * 3√10 м² = 12√10 м².

Площадь полной поверхности:

S_полн = 16 м² + 4 м² + 12√10 м² = 20 + 12√10 м².

Ответ: Объем 28 м³, площадь полной поверхности 20 + 12√10 м²