3. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны \(2\sqrt6\). Найдите расстояние от центра основания пирамиды до плоскости боковой грани SCD.

Обозначим центр основания через \(O\), а высоту пирамиды — через \(SO=h\). Сторона квадрата основания равна \(a=2\sqrt6\).

Расстояние от центра квадрата до его вершины:

\(OC=\dfrac{a\sqrt2}{2}=\dfrac{2\sqrt6\cdot\sqrt2}{2}=2\sqrt3\).

Из прямоугольного треугольника \(SOC\):

\(SO^2=SC^2-OC^2=(2\sqrt6)^2-(2\sqrt3)^2=24-12=12\), поэтому \(SO=2\sqrt3\).

Плоскость грани \(SCD\) образует с основанием сечение, в котором расстояние от \(O\) до прямой \(CD\) равно \(\dfrac a2=\sqrt6\), а высота равна \(SO=2\sqrt3\). Искомое расстояние — высота к гипотенузе в этом прямоугольном треугольнике:

\(d=\dfrac{\frac a2\cdot SO}{\sqrt{\left(\frac a2\right)^2+SO^2}}=\dfrac{\sqrt6\cdot2\sqrt3}{\sqrt{6+12}}=\dfrac{6\sqrt2}{3\sqrt2}=2\).

Ответ: 2.