Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Дано:
- Пирамида правильная, четырёхугольная.
- Сторона основания \( a = 6 \text{ см} \)
- Боковое ребро \( l = \sqrt{50} \text{ см} \)
Найти:
- Косинус угла наклона бокового ребра к плоскости основания \( ( ) \)
- Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \)
Решение:
- В основании пирамиды лежит квадрат. Диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \text{ см} \).
- Расстояние от центра основания до вершины квадрата равно половине диагонали: \( r = \frac{d}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ см} \).
- Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром \( l \), высотой пирамиды \( h \) и радиусом \( r \) (половина диагонали основания). Угол наклона бокового ребра к плоскости основания — это угол между боковым ребром и радиусом.
- Найдем косинус этого угла: \( ( ) = \frac{r}{l} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{50}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{25 · 2}} = \frac{3\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = \frac{3}{5} \).
- Для нахождения площади боковой поверхности, сначала найдем апофему \( h_a \) (высоту боковой грани). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \( h \), апофемой \( h_a \) и половиной стороны основания \( \frac{a}{2} \).
- Найдем высоту пирамиды \( h \) по теореме Пифагора: \( h^2 = l^2 - r^2 = (\sqrt{50})^2 - (3\sqrt{2})^2 = 50 - 18 = 32 \text{ см}^2 \). \( h = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ см} \).
- Теперь найдем апофему \( h_a \): \( h_a^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2 = (4\sqrt{2})^2 + (\frac{6}{2})^2 = 32 + 3^2 = 32 + 9 = 41 \text{ см}^2 \). \( h_a = \sqrt{41} \text{ см} \).
- Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды равна: \( S_{бок} = \frac{1}{2} · P_{осн} · h_a \).
- Периметр основания: \( P_{осн} = 4a = 4 · 6 = 24 \text{ см} \).
- \( S_{бок} = \frac{1}{2} · 24 \text{ см} · \sqrt{41} \text{ см} = 12\sqrt{41} \text{ см}^2 \).
Ответ: Косинус угла наклона бокового ребра к плоскости основания — \( \frac{3}{5} \). Площадь боковой поверхности — \( 12\sqrt{41} \text{ см}^2 \).
