3. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 4 м, а высота равна 2 м. Найти угол наклона боковой грани к плоскости основания; площадь полной поверхности пирамиды.

Решение:

1. Угол наклона боковой грани к плоскости основания:

• Основание пирамиды — квадрат со стороной a = 4 м.
• Высота пирамиды h = 2 м.
• Апофема (высота боковой грани) l.
• Найдем апофему: l = √(h² + (a/2)²)
• l = √(2² + (4/2)²) = √(4 + 2²) = √(4 + 4) = √8 = 2√2 м.
• Угол наклона боковой грани к основанию — это угол между апофемой и радиусом основания (половиной стороны квадрата).
• tg(α) = h / (a/2) = 2 / (4/2) = 2 / 2 = 1.
• α = arctg(1) = 45°.

2. Площадь полной поверхности пирамиды:

• Площадь основания: S_осн = a² = 4² = 16 м².
• Площадь боковой поверхности: S_бок = (1/2) * P_осн * l, где P_осн — периметр основания.
• P_осн = 4 * a = 4 * 4 = 16 м.
• S_бок = (1/2) * 16 * 2√2 = 16√2 м².
• Площадь полной поверхности: S_полн = S_осн + S_бок = 16 + 16√2 м².

Ответ: Угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 45°, площадь полной поверхности пирамиды равна (16 + 16√2) м².