4. Основанием пирамиды MABCD является прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 5 см и AD = 12 см. Боковое ребро МА перпендикулярно к плоскости основания пирамиды и равно 4 см. Найти угол наклона ребра МС к плоскости ABCD. *б) Постройте сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания и проходящей через точку F на ребре MA, MF: FA = 1 : 3. Найдите площадь сечения.

Решение:

а) Угол наклона ребра МС к плоскости ABCD:

• Так как MA ⊥ ABCD, то MA перпендикулярно любой прямой в плоскости основания, проходящей через точку A.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник MAC. Угол наклона ребра MC к плоскости ABCD — это угол MCA.
• Найдем длину диагонали AC прямоугольника ABCD по теореме Пифагора:
• AC² = AB² + AD² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169.
• AC = √169 = 13 см.
• В прямоугольном треугольнике MAC:
• tg(∠MCA) = MA / AC = 4 / 13.
• ∠MCA = arctg(4/13).

б) Площадь сечения пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания:

• Плоскость сечения параллельна плоскости основания ABCD.
• Точка F лежит на ребре MA, причем MF : FA = 1 : 3. Это значит, что F делит ребро MA в отношении 1:3, то есть MF = (1/4)MA и FA = (3/4)MA.
• Высота пирамиды, построенной от вершины M до сечения, будет равна h_сеч = MF = (1/4)MA = (1/4)*4 = 1 см.
• Так как плоскость сечения параллельна плоскости основания, то сечение будет подобно основанию. Отношение линейных размеров сечения к основанию равно отношению высот:
• k = h_сеч / MA = 1 / 4.
• Площадь сечения (которое будет прямоугольником, подобным ABCD) будет равна:
• S_сеч = k² * S_осн.
• Площадь основания ABCD: S_осн = AB * AD = 5 * 12 = 60 см².
• S_сеч = (1/4)² * 60 = (1/16) * 60 = 60/16 = 15/4 = 3.75 см².

Ответ: а) Угол наклона ребра МС к плоскости ABCD равен arctg(4/13). б) Площадь сечения равна 3.75 см².