3. В правильной четырёхугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) ребро \(AB\) равно 6, а диагональ \(BD_1\) равна 10 (см. рис. 75). Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки \(A\), \(A_1\) и \(C\).

Основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат со стороной \(AB=6\). Обозначим высоту призмы через \(h=AA_1\).

Диагональ основания \(BD=6\sqrt2\). В прямоугольном треугольнике \(BDD_1\):

\(BD_1^2=BD^2+DD_1^2\), поэтому \(10^2=(6\sqrt2)^2+h^2\).

Тогда \(h^2=100-72=28\), следовательно, \(h=2\sqrt7\).

Плоскость через \(A,A_1,C\) пересекает верхнее основание по диагонали \(A_1C_1\): так как она содержит вертикальное ребро \(AA_1\) и диагональ основания \(AC\), сечение — прямоугольник \(ACC_1A_1\). Его стороны: \(AC=6\sqrt2\) и \(AA_1=2\sqrt7\).

Площадь сечения: \(S=AC\cdot AA_1=6\sqrt2\cdot2\sqrt7=12\sqrt{14}\).

Ответ: \(12\sqrt{14}\) см².