3. В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основания AB = 6, а боковое ребро AA₁ = 4√3. На рёбрах AB, A₁D₁ и C₁D₁ отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = A₁N = C₁K = 1. а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL — квадрат. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.

Введём координаты: \(A(0,0,0)\), \(B(6,0,0)\), \(C(6,6,0)\), \(D(0,6,0)\); верхнее основание имеет координату \(z=4\sqrt3\). Тогда \(M(1,0,0)\), \(N(0,1,4\sqrt3)\), \(K(5,6,4\sqrt3)\).

Плоскость через M, N, K имеет уравнение \(4\sqrt3(-x+1+y)-2z=0\). На ребре BC имеем \(x=6\), \(z=0\), откуда \(y=5\). Следовательно, \(L=(6,5,0)\).

Векторы сторон в порядке MNKL:

\(\overrightarrow{MN}=(-1,1,4\sqrt3)\), \(\overrightarrow{NK}=(5,5,0)\), \(\overrightarrow{KL}=(1,-1,-4\sqrt3)\), \(\overrightarrow{LM}=(-5,-5,0)\).

Значит, противоположные стороны попарно параллельны, а соседние перпендикулярны, поскольку \(\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{NK}=-5+5=0\). Длины всех сторон равны: например, \(|MN|=\sqrt{1+1+48}=\sqrt{50}\), а \(|NK|=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}\); противоположные стороны равны как векторы с противоположным направлением. Следовательно, MNKL — квадрат.

Сторона квадрата равна \(\sqrt{50}=5\sqrt2\), поэтому площадь сечения равна \((5\sqrt2)^2=50\).

Ответ: а) MNKL — квадрат; б) площадь сечения равна 50.