3) В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде длины сторон оснований 10√2 см и √2 см. Длина бокового ребра 15 см. Найти объём пирамиды.

1. Найдём горизонтальное смещение соответствующих вершин оснований. Расстояние от центра квадрата до вершины равно половине его диагонали, то есть стороне, делённой на \(\sqrt2\). Для оснований эти расстояния равны 10 см и 1 см; их разность — 9 см.

2. По теореме Пифагора найдём высоту усечённой пирамиды:

   \(h=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{144}=12\) см.

3. Площади квадратных оснований:

   \(S_1=(10\sqrt2)^2=200\) см², \(S_2=(\sqrt2)^2=2\) см².

4. Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле \(V=\frac{h}{3}(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2})\):

   \(V=\frac{12}{3}(200+2+\sqrt{200\cdot2})=4(202+20)=888\) см³.

Ответ: 888 см³.