3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 7/√3 см, а высота равна 7 см. Найти угол наклона бокового ребра к плоскости основания. Ответ запишите в градусах.

Решение:

1. Определим радиус вписанной окружности в основание (r):

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника со стороной \( a \) находится по формуле: \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \).

В нашем случае, \( a = \frac{7}{\sqrt{3}} \) см.

\( r = \frac{\frac{7}{\sqrt{3}}}{2\sqrt{3}} = \frac{7}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{7}{2 \cdot 3} = \frac{7}{6} \) см.

2. Найдем угол наклона бокового ребра к плоскости основания:

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания — это угол между боковым ребром и его проекцией на плоскость основания. Проекцией бокового ребра на основание является радиус окружности, вписанной в основание (r).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (H), радиусом вписанной окружности (r) и боковым ребром (l). Угол наклона бокового ребра к основанию (α) — это угол между гипотенузой (l) и катетом (r).

В данном случае, высота пирамиды \( H = 7 \) см.

Тангенс этого угла равен:

\( \tan{\alpha} = \frac{H}{r} \)

\( \tan{\alpha} = \frac{7}{\frac{7}{6}} = 7 \cdot \frac{6}{7} = 6 \).

3. Найдем угол в градусах:

\( \alpha = \arctan(6) \).

Используя калькулятор, находим, что \( \arctan(6) \approx 80.54° \).

Округляем до целых градусов, как часто требуется в школьных задачах, если не указана иная точность.

Ответ: Угол наклона бокового ребра к плоскости основания приблизительно равен 81°.