№ 3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все рёбра которой равны 1, найдите площадь сечения, проходящего через вершины A, B и середину ребра B₁C₁.

Пусть M — середина B₁C₁. Введём координаты: A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1/2, √3/2, 0); верхние вершины имеют ту же первую и вторую координаты, а третья координата равна 1. Тогда M(3/4, √3/4, 1).

Плоскость через A, B и M пересекает грань AСC₁A₁ в точке N — середине A₁C₁. Поэтому сечение — четырёхугольник ABMN.

Площадь найдём как сумму площадей треугольников ABM и AMN.

Для первого треугольника основание AB равно 1, а высота из M к AB равна √(1 + 3/16) = √19/4. Значит, S₍ABM₎ = √19/8.

Для второго треугольника векторы AM = (3/4, √3/4, 1) и AN = (1/4, √3/4, 1). Их векторное произведение имеет длину √3/2, поэтому S₍AMN₎ = √3/4.

Складываем площади: S = √19/8 + √3/4 = (√19 + 2√3)/8.

Ответ: площадь сечения равна (√19 + 2√3)/8.