3. В прямоугольнике ABCD точка O является центром симметрии, а точки P и K — середины сторон AB и BC соответственно. а) Определите вид выпуклого четырёхугольника OPBK. б) Докажите, что PK = OD.

Question

Вопрос:

Фото задания: 3. В прямоугольнике ABCD точка O является центром симметрии, а точки P и K — середины сторон AB и BC соответственно. а)…

3. В прямоугольнике ABCD точка O является центром симметрии, а точки P и K — середины сторон AB и BC соответственно. а) Определите вид выпуклого четырёхугольника OPBK. б) Докажите, что PK = OD.

Accepted Answer

Обозначим длины сторон прямоугольника AB = w и BC = h. Зададим координаты: A(0; 0), B(w; 0), C(w; h), D(0; h). Тогда O(w/2; h/2), P(w/2; 0), K(w; h/2).

а) Отрезки OP и BK вертикальны, а PB и KO горизонтальны. Значит, противоположные стороны OPBK параллельны, и соседние стороны перпендикулярны. Следовательно, OPBK — прямоугольник.

б) По формуле расстояния между точками:

\(PK=\sqrt{(w-w/2)^2+(h/2-0)^2}=\sqrt{w^2/4+h^2/4}.\)

Также

\(OD=\sqrt{(w/2-0)^2+(h/2-h)^2}=\sqrt{w^2/4+h^2/4}.\)

Получили равные выражения, поэтому PK = OD.

Ответ: а) OPBK — прямоугольник; б) PK = OD.