3. В прямоугольнике диагональ равна 10, угол между ней и одной из сторон равен 30°, длина этой стороны 5√3. Найдите площадь прямоугольника, деленную на √3.

Решение:

Пусть дан прямоугольник ABCD. Диагональ AC = 10. Угол между диагональю и стороной равен 30°. Пусть это будет угол ∠BAC = 30°.

В прямоугольном треугольнике ABC:

1. Найдем длину стороны BC:

\( \sin(30^{\circ}) = \frac{BC}{AC} \)

\( BC = AC \cdot \sin(30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \)

2. Найдем длину стороны AB:

\( \cos(30^{\circ}) = \frac{AB}{AC} \)

\( AB = AC \cdot \cos(30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \)

3. Вычислим площадь прямоугольника:

\( S = AB \cdot BC = 5\sqrt{3} \cdot 5 = 25\sqrt{3} \)

4. Найдем площадь, деленную на \(\sqrt{3}\):

\( \frac{S}{\sqrt{3}} = \frac{25\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 25 \)

Ответ: 25.