4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1см х 1см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение:

Рассмотрим клетчатую бумагу. Пусть одна клетка имеет размеры 1 см × 1 см.

Точка А находится в координатах (0, 3) (если принять левый нижний угол сетки за начало координат (0,0)).

Точка B находится в координатах (1, 1).

Точка C находится в координатах (3, 0).

1. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки B(1, 1) и C(3, 0).

Угловой коэффициент \( k = \frac{0 - 1}{3 - 1} = \frac{-1}{2} = -0.5 \).

Уравнение прямой имеет вид: \( y - y_1 = k(x - x_1) \)

\( y - 1 = -0.5(x - 1) \)

\( y - 1 = -0.5x + 0.5 \)

\( y = -0.5x + 1.5 \)

Приведем к общему виду \( Ax + By + C = 0 \):

\( 0.5x + y - 1.5 = 0 \)

Умножим на 2 для удобства:

\( x + 2y - 3 = 0 \).

2. Найдем расстояние от точки А(0, 3) до прямой \( x + 2y - 3 = 0 \).

Формула расстояния от точки \( (x_0, y_0) \) до прямой \( Ax + By + C = 0 \):

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Подставим значения: \( x_0 = 0, y_0 = 3, A = 1, B = 2, C = -3 \).

\[ d = \frac{|1 \cdot 0 + 2 \cdot 3 - 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|0 + 6 - 3|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|3|}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} \]

3. Выразим ответ в сантиметрах:

\[ d = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \text{ см} \]

Ответ: $$\frac{3\sqrt{5}}{5}$$ см.