3) В прямоугольном Δ ABC ∠C = 90°, ∠A = 60°, AC = 5см, Найти AB.

1. Дано:

• $$\triangle ABC$$ — прямоугольный.
• \[ \angle C = 90^{\circ} \]
• \[ \angle A = 60^{\circ} \]
• \[ AC = 5 \text{ см} \]

Найти:

• \[ AB \]

Решение:

1. Определение тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике:
2. В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
3. 
   \[ \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} \]
4. Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
5. 
   \[ \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} \]
6. Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
7. 
   \[ \tan A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{AC} \]
8. Используем косинус:
9. Нам известно, что $$\angle A = 60^{\circ}$$ и прилежащий катет $$AC = 5$$ см. Гипотенуза — это $$AB$$.
10. 
    \[ \cos 60^{\circ} = \frac{AC}{AB} \]
11. Мы знаем, что $$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$$.
12. 
    \[ \frac{1}{2} = \frac{5 \text{ см}}{AB} \]
13. Находим $$AB$$:
14. Чтобы найти $$AB$$, можно решить пропорцию:
15. 
    \[ AB \times 1 = 5 \text{ см} \times 2 \]
16. 
    \[ AB = 10 \text{ см} \]
17. Альтернативный способ (через сумму углов):
18. Сумма углов в треугольнике равна $$180^{\circ}$$.
19. 
    \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \]
20. 
    \[ 60^{\circ} + \angle B + 90^{\circ} = 180^{\circ} \]
21. 
    \[ \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} \]
22. 
    \[ \angle B = 30^{\circ} \]
23. Теперь используем синус угла $$B$$:
24. 
    \[ \sin B = \frac{AC}{AB} \]
25. 
    \[ \sin 30^{\circ} = \frac{5 \text{ см}}{AB} \]
26. Мы знаем, что $$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$$.
27. 
    \[ \frac{1}{2} = \frac{5 \text{ см}}{AB} \]
28. 
    \[ AB = 10 \text{ см} \]

Ответ: $$AB = 10$$ см