Классная работа 1) Дано: AB=CD, BC=AD, ∠C=70° Доказать: Δ ABD = Δ BCD Найти: ∠A

Решение:

1. Дано:

• \[ AB=CD \]
• \[ BC=AD \]
• \[ \angle C = 70^{\circ} \]

Доказать:

• \[ \triangle ABD = \triangle BCD \]

Найти:

• \[ \angle A \]

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle ADC$$.
2. \[ AB = CD \] (по условию)
3. \[ BC = AD \] (по условию)
4. \[ AC = AC \] (общая сторона)
5. Следовательно, $$\triangle ABC = \triangle ADC$$ по трем сторонам (3 признак равенства треугольников).
6. Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны:
   \[ \angle BAC = \angle DCA \] и
   \[ \angle BCA = \angle DAC \]
7. Теперь рассмотрим треугольники $$\triangle ABD$$ и $$\triangle CDB$$.
8. \[ AB = CD \] (по условию)
9. \[ AD = CB \] (по условию)
10. \[ BD = DB \] (общая сторона)
11. Следовательно, $$\triangle ABD = \triangle CDB$$ по трем сторонам (3 признак равенства треугольников).
12. Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны:
    \[ \angle ABD = \angle CDB \] и
    \[ \angle ADB = \angle CBD \]
13. Доказательство равенства $$\triangle ABD = \triangle BCD$$:
14. \[ AB = CD \] (по условию)
15. \[ AD = BC \] (по условию)
16. \[ BD = DB \] (общая сторона)
17. Следовательно, $$\triangle ABD = \triangle CDB$$ по 3 признаку равенства треугольников.
18. Нахождение $$\angle A$$:
19. Так как $$\triangle ABC = \triangle ADC$$, то
    \[ \angle A = \angle BAC + \angle DAC \]
20. И
    \[ \angle C = \angle BCA + \angle ACD \]
21. Мы знаем, что $$\angle C = 70^{\circ}$$.
22. Из равенства $$\triangle ABC$$ и $$\triangle ADC$$ следует, что
    \[ \angle ABC = \angle ADC \]
23. В четырехугольнике $$ABCD$$, сумма углов равна $$360^{\circ}$$.
24. \[ \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^{\circ} \]
25. \[ \angle A + \angle ABC + 70^{\circ} + \angle ADC = 360^{\circ} \]
26. 
    \[ 2\angle A + 2\angle ABC + 70^{\circ} = 360^{\circ} \]
27. 
    \[ 2\angle A + 2\angle ABC = 290^{\circ} \]
28. 
    \[ \angle A + \angle ABC = 145^{\circ} \]
29. Из равенства $$\triangle ABC = \triangle ADC$$ следует, что
    \[ \angle BAC = \angle DCA \] и
    \[ \angle BCA = \angle DAC \]
30. 
    \[ \angle C = \angle BCA + \angle ACD = 70^{\circ} \]
31. 
    \[ \angle A = \angle BAC + \angle DAC \]
32. Так как $$\triangle ABC = \triangle ADC$$, то
    \[ \angle BAC = \angle DCA \] и
    \[ \angle BCA = \angle DAC \]
33. 
    \[ \angle C = \angle BCA + \angle ACD = 70^{\circ} \]
34. 
    \[ \angle A = \angle BAC + \angle DAC \]
35. 
    \[ \angle A = \angle BAC + \angle BCA \]
36. 
    \[ \angle C = \angle BCA + \angle BAC = 70^{\circ} \]
37. 
    \[ \angle A = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \]
38. Объяснение:
39. Данный четырехугольник $$ABCD$$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны равны ($$AB=CD$$ и $$BC=AD$$).
40. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $$180^{\circ}$$.
41. \[ \angle A + \angle B = 180^{\circ} \]
42. \[ \angle B + \angle C = 180^{\circ} \]
43. \[ \angle C + \angle D = 180^{\circ} \]
44. \[ \angle D + \angle A = 180^{\circ} \]
45. Нам дано, что $$\angle C = 70^{\circ}$$.
46. Следовательно,
    \[ \angle A = 180^{\circ} - \angle B \]
47. 
    \[ \angle B = 180^{\circ} - \angle C = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \]
48. 
    \[ \angle A = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \]
49. Подождите, давайте пересмотрим!
50. В параллелограмме противоположные углы равны.
51. \[ \angle A = \angle C \] и
    \[ \angle B = \angle D \]
52. Если $$\angle C = 70^{\circ}$$, то $$\angle A$$ должно быть равно $$\angle C$$. Однако, это противоречит свойству суммы углов параллелограмма.
53. Давайте вернемся к равенству треугольников.
54. Мы доказали, что $$\triangle ABC = \triangle ADC$$.
55. Это значит, что
    \[ \angle BAC = \angle DCA \] и
    \[ \angle BCA = \angle DAC \]
56. Также мы доказали, что $$\triangle ABD = \triangle CDB$$.
57. Это значит, что
    \[ \angle ABD = \angle CDB \] и
    \[ \angle ADB = \angle CBD \]
58. Мы хотим найти $$\angle A$$.
59. \[ \angle A = \angle BAC + \angle DAC \]
60. \[ \angle C = \angle BCA + \angle ACD \]
61. У нас есть $$\angle C = 70^{\circ}$$.
62. Из равенства $$\triangle ABC = \triangle ADC$$ следует, что
    \[ \angle ABC = \angle ADC \]
63. У нас есть $$\angle C = 70^{\circ}$$ и $$AB=CD$$, $$BC=AD$$.
64. Это означает, что $$ABCD$$ - параллелограмм.
65. В параллелограмме сумма соседних углов равна $$180^{\circ}$$.
66. \[ \angle A + \angle B = 180^{\circ} \]
67. \[ \angle B + \angle C = 180^{\circ} \]
68. \[ \angle C + \angle D = 180^{\circ} \]
69. \[ \angle D + \angle A = 180^{\circ} \]
70. Нам дано $$\angle C = 70^{\circ}$$.
71. \[ \angle B = 180^{\circ} - \angle C = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \]
72. 
    \[ \angle A = 180^{\circ} - \angle B = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \]
73. Таким образом, $$\angle A = 70^{\circ}$$.

Ответ: $$\angle A = 70^{\circ}$$