3. В прямоугольном ΔABC ∠C = 90°, ∠B = 60°, AC = 24 см. Точка K — середина катета AC. Найдите расстояние от точки K до гипотенузы AB.

Так как \(\angle A=30^\circ\), треугольник ABC — прямоугольный с углами 30°, 60° и 90°. Сторона AC, лежащая напротив угла 60°, равна 24 см. Поэтому катет \(BC=24/\sqrt{3}=8\sqrt{3}\) см.

Введём координаты: \(C=(0,0)\), \(A=(24,0)\), \(B=(0,8\sqrt{3})\). Поскольку K — середина AC, \(K=(12,0)\).

Уравнение прямой AB в отрезках: \(\dfrac{x}{24}+\dfrac{y}{8\sqrt{3}}=1\). Расстояние от K до AB:

\(d=\dfrac{|12/24-1|}{\sqrt{1/24^2+1/(8\sqrt{3})^2}}=\dfrac{1/2}{1/12}=6\) см.

Ответ: 6 см.