3. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $AB=3$, ребро $AD=\sqrt{10}$, ребро $AA_1=2$. Точка $K$ — середина ребра $BB_1$. Найдите площадь сечения, проходящего через точки $A_1,D_1,K$ (см. рис. 83).

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $AB=3$, ребро $AD=\sqrt{10}$, ребро $AA_1=2$. Точка $K$…$ Фото задания

3. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $AB=3$, ребро $AD=\sqrt{10}$, ребро $AA_1=2$. Точка $K$ — середина ребра $BB_1$. Найдите площадь сечения, проходящего через точки $A_1,D_1,K$ (см. рис. 83).

Accepted Answer

Плоскость через точки $A_1,D_1,K$ пересекает параллелепипед по прямоугольнику $A_1D_1LK$, где $L$ — середина ребра $CC_1$.

Сторона $A_1D_1$ равна ребру $AD$:

\[A_1D_1=AD=\sqrt{10}.\]

Точка $K$ — середина ребра $BB_1$, поэтому расстояние между уровнями точек $A_1$ и $K$ по вертикали равно $1$. Горизонтальная составляющая равна $AB=3$. Следовательно,

\[A_1K=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}.\]

Отрезки $A_1D_1$ и $A_1K$ перпендикулярны, поэтому сечение является прямоугольником.

\[S_{A_1D_1LK}=A_1D_1\cdot A_1K=\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}=10.\]

Ответ: 10.