3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB=14, AD=9, AA₁=12. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки B, C₁ и D₁.

Зададим координаты: \(A=(0,0,0)\), \(B=(14,0,0)\), \(D=(0,9,0)\), \(A_1=(0,0,12)\). Тогда \(C_1=(14,9,12)\), \(D_1=(0,9,12)\).

Плоскость через B, C₁ и D₁ также пересекает ребро AA₁ в точке E. Уравнение плоскости имеет вид \(9x+14y=126\); при \(x=y=0\) оно задаёт точку E на прямой AA₁? Поскольку уравнение не содержит z, такая плоскость параллельна оси z, поэтому пересечения с AA₁ нет. Вместо этого её сечение ограничено точками B, C₁, D₁ и точкой F на ребре DC, где x=0, z=0: из уравнения следует y=9, то есть F=D. Таким образом, сечение — прямоугольник B C₁ D₁ D.

Его стороны: \(BC_1=\sqrt{9^2+12^2}=15\), а \(C_1D_1=14\). Эти стороны перпендикулярны, поэтому площадь равна \(15\cdot14=210\).

Ответ: 210.