3. В прямоугольном треугольнике ABC известно, что AC = 14 см, ∠BAC = 30°. На гипотенузе AB отметили точку F. Из точки F на катеты AC и BC опустили перпендикуляры FD и FP соответственно. Докажите, что DP ≥ 7 см.

Так как AB — гипотенуза, прямой угол находится при C. Введём координаты: \(C=(0,0)\), \(A=(14,0)\), а катет BC расположим на вертикальной оси. Пусть \(F=(x,y)\). Тогда основания перпендикуляров имеют координаты \(D=(x,0)\) и \(P=(0,y)\).

1. Из \(\angle BAC=30°\) следует, что \(BC=AC\tan30°=14/\sqrt{3}\). Поэтому уравнение гипотенузы AB имеет вид \(x+\sqrt{3}y=14\), и эта связь выполняется для любой точки F на AB.
2. По формуле расстояния \(DP^2=x^2+y^2\). Между тем \((x+\sqrt{3}y)^2\le(1+3)(x^2+y^2)\) по неравенству Коши — Буняковского.
3. Подставляя \(x+\sqrt{3}y=14\), получаем \(196\le4DP^2\), откуда \(DP^2\ge49\), а значит, \(DP\ge7\) см.

Что и требовалось доказать.