Дан равнобедренный прямоугольный треугольник. Квадрат со стороной 6 см построен так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах данного треугольника. Найдите высоту треугольника, проведённую к гипотенузе.

Пусть высота к гипотенузе равна h. Две вершины квадрата на гипотенузе образуют его сторону длиной 6 см; противоположная сторона параллельна гипотенузе и находится от неё на расстоянии 6 см.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе делит его на два равных треугольника, поэтому ширина сечения, параллельного гипотенузе, уменьшается линейно от длины гипотенузы до нуля. На расстоянии 6 см от гипотенузы эта ширина равна длине гипотенузы, умноженной на \(1-\frac{6}{h}\). Поскольку ширина сечения равна стороне квадрата 6 см, а высота треугольника равна половине гипотенузы, получаем:

\(6=2h\left(1-\frac{6}{h}\right)=2h-12\).

Отсюда \(2h=18\), следовательно, \(h=9\) см.

Ответ: 9 см.