Через точку D к окружности с центром O проведены касательные DA и DB (A и B — точки касания). Прямая DO пересекает окружность в точке C такой, что точка O лежит между точками D и C. Известно, что DO = 2OC. Докажите, что четырёхугольник DACB — ромб.

Обозначим радиус окружности через \(r\). Тогда \(OC=OA=OB=r\), а по условию \(DO=2r\).

1. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому треугольник \(DOA\) прямоугольный, и по теореме Пифагора \(DA^2=DO^2-OA^2=4r^2-r^2=3r^2\). Значит, \(DA=\sqrt{3}r\). Аналогично \(DB=\sqrt{3}r\).
2. Так как O лежит между D и C, точки на прямой расположены в порядке D, O, C, поэтому \(DC=DO+OC=3r\).
3. Треугольники \(DOA\) и \(DO B\) прямоугольные. В каждом из них \(OA=OB=r\) и \(DO=2r\), поэтому угол между \(DO\) и \(OA\) (или \(OB\)) равен 60°.
4. Треугольник \(AOC\) равнобедренный: \(OA=OC=r\). Угол \(AOC\) равен 120°, поскольку лучи \(ODO C\) противоположны, а угол между \(OD\) и \(OA\) равен 60°. Следовательно, его углы при основании равны 30°, и по теореме косинусов \(AC^2=r^2+r^2-2r^2\cos120°=3r^2\). Значит, \(AC=\sqrt{3}r\). Аналогично \(BC=\sqrt{3}r\).
5. Получили \(DA=AC=CB=BD=\sqrt{3}r\). Четырёхугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.

Что и требовалось доказать.