3. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 35, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 14√6. Найдите sin ∠ABC.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза AB, поэтому прямой угол расположен при C. Для угла B: sin ∠ABC = AC/AB.

Обозначим BC = x. Площадь можно выразить двумя способами:

(AC · BC)/2 = (AB · CH)/2, откуда 35x = 14√6 · AB.

По теореме Пифагора AB = √(35² + x²). Подставим в равенство: 35x = 14√6 · √(1225 + x²).

Возведём обе части в квадрат: 1225x² = 1176(1225 + x²), поэтому 49x² = 1176 · 1225 и x² = 24 · 1225.

Тогда AB² = 1225 + 24 · 1225 = 25 · 1225, значит AB = 175.

Следовательно, sin ∠ABC = 35/175 = 1/5.

Ответ: 1/5.