3. В прямоугольном треугольнике ABC, LB=90°, LC=30°, BC=18см. Найдите длины отрезков, на которые биссектриса АД делит катет BC

Дано:

• \[ \triangle ABC \] — прямоугольный.
• \[ \angle B = 90^{\circ} \]
• \[ \angle C = 30^{\circ} \]
• BC = 18 см
• AD — биссектриса.

Решение:

1. Найдем угол A: \( \angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
2. Так как AD — биссектриса, она делит угол A пополам: \( \angle CAD = \angle DAB = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).
3. Рассмотрим ABC:
• Найдем катет AB. Так как \( \angle C = 30^{\circ} \), то катет, лежащий против него (AB), равен половине гипотенузы AC: \( AB = \frac{1}{2} AC \).
• Также \( \text{tg} C = \frac{AB}{BC} \) => \( AB = BC \times \text{tg} 30^{\circ} = 18 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \text{ см} \).
• Найдем гипотенузу AC: \( AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 + 18^2} = \sqrt{36 \times 3 + 324} = \sqrt{108 + 324} = \sqrt{432} = \sqrt{144 \times 3} = 12\sqrt{3} \text{ см} \).
• Проверка: \( AB = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 12\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \text{ см} \). Верно.
4. Теперь рассмотрим ABD. Мы знаем \( \angle B = 90^{\circ} \) и \( \angle DAB = 30^{\circ} \).
5. По теореме о биссектрисе в треугольнике: \( \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} \).
6. Мы знаем, что BC = BD + CD = 18 см.
7. Подставим значения AB и AC: \( \frac{BD}{CD} = \frac{6\sqrt{3}}{12\sqrt{3}} = \frac{1}{2} \).
8. Из этого следует, что \( CD = 2 BD \).
9. Подставим в уравнение суммы отрезков: \( BD + 2 BD = 18 \Rightarrow 3 BD = 18 \Rightarrow BD = 6 \text{ см} \).
10. Тогда \( CD = 2 \times 6 = 12 \text{ см} \).

Ответ: 6 см и 12 см