3. В прямоугольном треугольнике ABC, проведён высотой BH. AB = 13, BH = 12. Найдите AC.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора:

\[ AH^2 + BH^2 = AB^2 \]\[ AH^2 + 12^2 = 13^2 \]\[ AH^2 + 144 = 169 \]\[ AH^2 = 169 - 144 \]\[ AH^2 = 25 \]\[ AH = \sqrt{25} \]\[ AH = 5 \]

Рассмотрим подобные прямоугольные треугольники ABC и AHB (по двум углам: \( \angle A \) — общий, \( \angle AHB = \angle ABC = 90^​ \)).

Из подобия следует соотношение:

\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AB} \]\[ AC = \frac{AB^2}{AH} \]\[ AC = \frac{13^2}{5} \]\[ AC = \frac{169}{5} \]\[ AC = 33.8 \]

Ответ: 33.8.