3. В прямоугольном треугольнике DCE с прямым углом С проведена биссектриса EF, причем FC = 13см. Найти расстояние от точки F до прямой DE

Question

Вопрос:

3. В прямоугольном треугольнике DCE с прямым углом С проведена биссектриса EF, причем FC = 13см. Найти расстояние от точки F до прямой DE

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Дано: $ \triangle DCE $, $ \angle C = 90^{\circ} $, $ EF $ — биссектриса $ \angle C $, $ FC = 13 $ см.

Найти: Расстояние от точки F до прямой DE. Это будет длина перпендикуляра, опущенного из F на DE, обозначим его $ FK $.

Решение:

Поскольку $ EF $ — биссектриса $ \angle C $, то $ \angle ECF = \angle FCD = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ} $.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle FCE $. Угол $ \angle CFE = 90^{\circ} - \angle ECF = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} $.
Так как $ \angle ECF = \angle CFE = 45^{\circ} $, то $ \triangle FCE $ — равнобедренный прямоугольный треугольник, где $ FE = EC $.
В прямоугольном треугольнике $ \triangle DCE $, $ C = 90^{\circ} $, $ FC $ — биссектриса. По свойству биссектрисы, любая точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла. Следовательно, расстояние от $ F $ до $ DC $ равно $ FC $, то есть $ FC = 13 $ см.
Расстояние от точки $ F $ до прямой $ DE $ — это длина перпендикуляра $ FK $.
Рассмотрим $ \triangle CDF $ и $ \triangle KDF $. $ \triangle CDF $ — прямоугольный, $ \triangle KDF $ — прямоугольный.
Угол $ \boldsymbol{C} = 90^{\circ} $. $ EF $ — биссектриса, значит $ \boldsymbol{\angle ECF} = \boldsymbol{\angle FCD} = 45^{\circ} $.
В $ \boldsymbol{\triangle CDF} $ угол $ \boldsymbol{\angle CFD} = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} $.
Следовательно, $ \boldsymbol{\triangle CDF} $ — равнобедренный, $ \boldsymbol{CF} = \boldsymbol{DF} = 13 $ см.
Расстояние от точки $ F $ до прямой $ DE $ — это длина перпендикуляра $ FK $.
Поскольку $ EF $ — биссектриса, то расстояние от $ F $ до $ DC $ равно $ FC $ (перпендикуляр из $ F $ на $ DC $ — это $ FC $ или его продолжение, но так как $ C=90 $ то $ FC $ является расстоянием до $ DC $ или $ CE $).
Проведем $ FK \boldsymbol{\perp} DE $. $ \boldsymbol{\triangle DFK} $ — прямоугольный.
Нам нужно найти $ FK $.
В $ \boldsymbol{\triangle DCE} $: $ \boldsymbol{\angle C}=90^{\circ} $, $ \boldsymbol{EF} $ — биссектриса.
Точка $ F $ лежит на биссектрисе $ \boldsymbol{EF} $.
По свойству биссектрисы, расстояние от $ F $ до $ DC $ равно расстоянию от $ F $ до $ CE $.
У нас есть $ \boldsymbol{FC=13} $ см.
Из $ \boldsymbol{\triangle FCD} $ (где $ \boldsymbol{\angle C}=90^{\circ} $ и $ \boldsymbol{FC} $ — биссектриса $ \boldsymbol{\angle DCE} $, что означает $ \boldsymbol{\angle FCD}=45^{\circ} $), получаем $ \boldsymbol{\angle CFD}=45^{\circ} $.
Следовательно, $ \boldsymbol{\triangle FCD} $ — равнобедренный, $ \boldsymbol{DF} = \boldsymbol{FC} = 13 $ см.
Теперь рассмотрим $ \boldsymbol{\triangle DFK} $. $ \boldsymbol{\angle D K F = 90^{\circ}} $.
Угол $ \boldsymbol{\angle FDE} $ — это тот же угол, что и $ \boldsymbol{\angle CDE} $.
В $ \boldsymbol{\triangle DCE} $, $ \boldsymbol{\angle C}=90^{\circ} $, $ \boldsymbol{EF} $ — биссектриса.
Мы не можем найти $ \boldsymbol{\angle CDE} $ или $ \boldsymbol{\angle DEC} $ напрямую.
Вернемся к свойству биссектрисы: точка $ F $ равноудалена от сторон $ DC $ и $ CE $.
Расстояние от $ F $ до $ DC $ — это $ FC = 13 $ см (так как $ \boldsymbol{\angle C}=90^{\circ} $).
Расстояние от $ F $ до $ CE $ — это $ FE $.
Из $ \boldsymbol{\triangle FCE} $ ( $ \boldsymbol{\angle C}=90^{\circ} $, $ \boldsymbol{\angle ECF}=45^{\circ} $, $ \boldsymbol{FC=13} $), мы получили, что $ \boldsymbol{FE} = \boldsymbol{EC} $.
В $ \boldsymbol{\triangle DCE} $ $ \boldsymbol{FC} $ — биссектриса.
По теореме о биссектрисе угла треугольника: $ \frac{CD}{CE} = \frac{DF}{FE} $.
Так как $ \boldsymbol{DF = 13} $ и $ \boldsymbol{FE = EC} $, то $ \frac{CD}{CE} = \frac{13}{EC} $ → $ \boldsymbol{CD \boldsymbol{\cdot} EC = 13 \boldsymbol{\cdot} CE} $. Это не дает информацию.
Давайте используем тот факт, что $ F $ лежит на биссектрисе $ \boldsymbol{EF} $ угла $ \boldsymbol{C} $.
Расстояние от $ F $ до $ DC $ равно $ \boldsymbol{FC} $ (так как $ \boldsymbol{\angle C} = 90^{\circ} $).
Расстояние от $ F $ до $ CE $ равно $ \boldsymbol{FE} $.
В $ \boldsymbol{\triangle FCE} $ $ \boldsymbol{FC} = 13 $, $ \boldsymbol{\angle ECF} = 45^{\circ} $. $ \boldsymbol{\angle CFE} = 45^{\circ} $. $ \boldsymbol{\triangle FCE} $ — равнобедренный. $ \boldsymbol{FE} = \boldsymbol{EC} $.
Расстояние от $ F $ до $ DE $ — это $ FK $.
Рассмотрим $ \boldsymbol{\triangle DCE} $. $ \boldsymbol{EF} $ — биссектриса.
В $ \boldsymbol{\triangle DFE} $ и $ \boldsymbol{\triangle CFE} $.
В $ \boldsymbol{\triangle DCE} $ $ \boldsymbol{\angle C} = 90^{\circ} $, $ \boldsymbol{EF} $ — биссектриса $ \boldsymbol{\angle C} $.
У нас есть $ \boldsymbol{FC=13} $ см.
Мы ищем расстояние от $ F $ до $ DE $, которое равно $ FK $, где $ \boldsymbol{FK \boldsymbol{\perp} DE} $.
В $ \boldsymbol{\triangle CDF} $ $ \boldsymbol{\angle C}=90^{\circ} $, $ \boldsymbol{\angle FCD}=45^{\circ} $. Следовательно, $ \boldsymbol{\angle CFD}=45^{\circ} $.
$ \boldsymbol{FC} = \boldsymbol{DF} = 13 $ см.
В $ \boldsymbol{\triangle FCE} $ $ \boldsymbol{\angle C}=90^{\circ} $, $ \boldsymbol{\angle ECF}=45^{\circ} $. Следовательно, $ \boldsymbol{\angle CFE}=45^{\circ} $.
$ \boldsymbol{FE} = \boldsymbol{EC} $.
Рассмотрим $ \boldsymbol{\triangle DFE} $ и $ \boldsymbol{\triangle CFE} $.
Поскольку $ EF $ — биссектриса $ \boldsymbol{\angle C} $, то $ \boldsymbol{EF} $ делит угол $ \boldsymbol{C} $ пополам.
В $ \boldsymbol{\triangle DCE} $, $ \boldsymbol{\angle C} = 90^{\circ} $.
Расстояние от $ F $ до $ DC $ равно $ FC = 13 $ см.
Расстояние от $ F $ до $ CE $ равно $ FE $.
В $ \boldsymbol{\triangle DCE} $: $ \boldsymbol{\angle CDE} + \boldsymbol{\angle DEC} = 90^{\circ} $.
В $ \boldsymbol{\triangle FCD} $: $ \boldsymbol{FC} = 13 $, $ \boldsymbol{DF} = 13 $.
В $ \boldsymbol{\triangle FCE} $: $ \boldsymbol{FE} = \boldsymbol{EC} $.
Пусть $ \boldsymbol{EC} = x $. Тогда $ \boldsymbol{FE} = x $.
По теореме Пифагора в $ \boldsymbol{\triangle DCE} $: $ \boldsymbol{DE^2} = \boldsymbol{DC^2} + \boldsymbol{CE^2} $.
$ \boldsymbol{DC} $ — это часть $ \boldsymbol{DC} $ от $ \boldsymbol{\triangle FCD} $, то есть $ \boldsymbol{DC} = \boldsymbol{DC}_{\boldsymbol{part}} $.
Нам нужно найти $ FK $. $ \boldsymbol{FK} $ — высота в $ \boldsymbol{\triangle DFE} $ к стороне $ \boldsymbol{DE} $.
В $ \boldsymbol{\triangle DCE} $ $ \boldsymbol{EF} $ — биссектриса. $ \boldsymbol{\angle C}=90^{\circ} $.
Из $ \boldsymbol{\triangle FCD} $, $ \boldsymbol{FC=13} $, $ \boldsymbol{DF=13} $.
Из $ \boldsymbol{\triangle FCE} $, $ \boldsymbol{FE=EC} $.
В $ \boldsymbol{\triangle DCE} $: $ \boldsymbol{CD \boldsymbol{\cdot} CE = DE \boldsymbol{\cdot} FK} $.
$ \boldsymbol{CD} = \boldsymbol{CD} $
$ \boldsymbol{CE} = \boldsymbol{FE} $
$ \boldsymbol{DC} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{FE} = \boldsymbol{DE} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{FK} $.
Мы не знаем $ \boldsymbol{CD} $, $ \boldsymbol{FE} $, $ \boldsymbol{DE} $.
По теореме о биссектрисе: $ \boldsymbol{\frac{CD}{CE} = \frac{DF}{FE}} $. $ \boldsymbol{\frac{CD}{FE} = \frac{13}{FE}} $. → $ \boldsymbol{CD = 13} $.
Если $ \boldsymbol{CD = 13} $ см, то $ \boldsymbol{\triangle DCE} $ — равнобедренный прямоугольный треугольник.
$ \boldsymbol{\angle CDE} = \boldsymbol{\angle CED} = 45^{\circ} $.
$ \boldsymbol{EF} $ — биссектриса, $ \boldsymbol{\angle CFE} = 45^{\circ} $.
Если $ \boldsymbol{CD = 13} $, то $ \boldsymbol{CE = 13} $. $ \boldsymbol{FE = 13} $. $ \boldsymbol{DF = 13} $.
$ \boldsymbol{DE} = \boldsymbol{\sqrt{CD^2 + CE^2}} = \boldsymbol{\sqrt{13^2 + 13^2}} = \boldsymbol{\sqrt{2 \boldsymbol{\cdot} 13^2}} = 13\boldsymbol{\sqrt{2}} $.
Площадь $ \boldsymbol{\triangle DCE} = \boldsymbol{\frac{1}{2} \boldsymbol{\cdot} CD \boldsymbol{\cdot} CE} = \boldsymbol{\frac{1}{2} \boldsymbol{\cdot} 13 \boldsymbol{\cdot} 13} = \boldsymbol{\frac{169}{2}} $.
Площадь $ \boldsymbol{\triangle DCE} $ также равна $ \boldsymbol{\frac{1}{2} \boldsymbol{\cdot} DE \boldsymbol{\cdot} FK} $.
$ \boldsymbol{\frac{169}{2}} = \boldsymbol{\frac{1}{2} \boldsymbol{\cdot} 13\boldsymbol{\sqrt{2}} \boldsymbol{\cdot} FK} $.
$ \boldsymbol{169} = \boldsymbol{13\boldsymbol{\sqrt{2}} \boldsymbol{\cdot} FK} $.
$ \boldsymbol{FK} = \boldsymbol{\frac{169}{13\boldsymbol{\sqrt{2}}}} = \boldsymbol{\frac{13}{\boldsymbol{\sqrt{2}}}} = \boldsymbol{\frac{13\boldsymbol{\sqrt{2}}}{2}} $.
$ \boldsymbol{\frac{13\boldsymbol{\sqrt{2}}}{2}} \boldsymbol{\approx} \boldsymbol{\frac{13 \boldsymbol{\cdot} 1.414}{2}} \boldsymbol{\approx} \boldsymbol{9.19} $.
Важно: $ \boldsymbol{FC} $ — это не перпендикуляр к $ DE $. $ FC $ — это отрезок биссектрисы.
Так как $ \boldsymbol{FC} = 13 $ см, и $ \boldsymbol{F} $ лежит на биссектрисе $ \boldsymbol{EF} $, то расстояние от $ F $ до $ DC $ равно $ 13 $ см.
Расстояние от $ F $ до $ CE $ равно $ FE $.
В $ \boldsymbol{\triangle FCE} $: $ \boldsymbol{\angle CFE}=45^{\circ} $, $ \boldsymbol{\angle ECF}=45^{\circ} $. $ \boldsymbol{FE = EC} $.
Из $ \boldsymbol{\triangle CDF} $: $ \boldsymbol{FC=13} $, $ \boldsymbol{DF=13} $.
По теореме о биссектрисе: $ \frac{CD}{CE} = \frac{DF}{FE} $.
$ \frac{CD}{FE} = \frac{13}{FE} $ → $ CD = 13 $.
Значит, $ \boldsymbol{\triangle DCE} $ — равнобедренный прямоугольный треугольник. $ CD = CE = 13 $.
$ \boldsymbol{FE = EC = 13} $. $ \boldsymbol{DF = 13} $.
$ DE = 13\boldsymbol{\sqrt{2}} $.
Расстояние от $ F $ до $ DE $ — это $ FK $.
В $ \boldsymbol{\triangle FDE} $: $ \boldsymbol{\angle FDE} = 45^{\circ} $.
$ \boldsymbol{\triangle DFE} $ — не равнобедренный.
В $ \boldsymbol{\triangle DCE} $ $ \boldsymbol{EF} $ — биссектриса.
Расстояние от $ F $ до $ DC $ равно $ 13 $ см.
Расстояние от $ F $ до $ DE $ равно $ FK $.
Рассмотрим $ \boldsymbol{\triangle FDE} $. $ \boldsymbol{FK} $ — высота. $ \boldsymbol{\angle FDE} = 45^{\circ} $.
$ \boldsymbol{DF = 13} $.
В прямоугольном $ \boldsymbol{\triangle DFK} $: $ \boldsymbol{\sin(\angle FDE)} = \frac{FK}{DF} $.
$ \boldsymbol{\sin(45^{\circ})} = \frac{FK}{13} $.
$ \boldsymbol{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{FK}{13} $.
$ \boldsymbol{FK} = \boldsymbol{13 \boldsymbol{\cdot} \frac{\sqrt{2}}{2}} = \boldsymbol{\frac{13\boldsymbol{\sqrt{2}}}{2}} $.

Ответ: Расстояние от точки F до прямой DE равно $$\frac{13\sqrt{2}}{2}$$ см.

3. В прямоугольном треугольнике DCE с прямым углом С проведена биссектриса EF, причем FC = 13см. Найти расстояние от точки F до прямой DE

Ответ:

Решение:

Похожие